Question

已知：△ABC中，CA=CB，O为AB的中点，E、F分别在直线AC、BC上，且∠EOF=2∠A．
（1）如图1，若∠A=45゜，则=1；=1；
（2）如图2，若∠A=45゜，求证：①OE=OF；②CF-CE=AC；1
（3）如图3，若∠A=30゜，探究CF-CE与AC之间的数量关系．

Answer 1

解：（1）①连接OC，
∵∠A=45゜，
∴∠EOF=2∠A=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵CA=CB，O为AB的中点，
∴CO⊥AB，OA=OB，∠A=∠B=45°，
∴OC=OA=OB=AB，∠BOC=∠A=45°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，CF=AE，
∴=1；

②∵CF=AE，
∴AC=AE+CE=CF+CE，
∴=1；

（2）①连接OC，
∵∠A=45゜，
∴∠EOF=2∠A=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵CA=CB，O为AB的中点，
∴CO⊥AB，OA=OB，∠A=∠B=45°，
∴OC=OA=OB=AB，∠BOC=∠A=45°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，CF=AE，
②∴CF-CE=AE-CE=AC；

（3）CF-CE=AC．
理由：连接OC，过点O作OM⊥AE于 M，ON⊥CF于N，
∵CA=CB，O为AB的中点，
∴OM=ON，∠ACO=∠BCO，CO⊥AB，
∴∠COM=∠CON，
∴CM=CN，
∵∠A=30°，
∴∠EOF=2∠A=60°，∠B=∠A=30°，OC=AC，
∴∠ACB=120°，
∴∠MON=60°，
∴∠MON=∠EOF=30°，
∴∠EOM=∠FON，CM=OC，
在△EOM和△FON中，
，
∴△EOM≌△FON（ASA），
∴EM=NF，
∴CF-CE=CN+NF-CE=CM+ME-CE=CM+CM=2CM=OC=AC．
分析：（1）首先连接OC，易证得△AOC与△BOC是等腰直角三角形，继而证得△AOE≌△COF，则可证得OE=OF，CF=AE，则可证得=1；=1；
（2）首先连接OC，易证得△AOC与△BOC是等腰直角三角形，继而证得△AOE≌△COF，则可证得OE=OF，CF=AE，继而可得CF-CE=AC；
（3）首先OC，作OM⊥AE于 M，ON⊥CF于N，则可得△COM≌△CON，△EOM≌△FON，即可得CM=CN，EM=NF，继而可得CF-CE=AC．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．