Question

【题目】如图，O是菱形ABCD对角线BD上的一点，且OC＝OD，连接OA．

（1）求证：∠AOC＝2∠ABC；

（2）求证：CD2＝OD·BD．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析

【解析】

（1）连接AC，根据菱形的性质可知BD垂直平分AC，∠ADC＝∠ABC，由中垂线的性质可得OA=OC，进而可得AO=OD，根据等腰三角形的性质可得∠BOC＝2∠ODC，∠AOB＝2∠ADO，进而根据菱形对角相等的性质即可得答案；（2）由菱形性质可得∠BDC＝∠CBD，由（1）得∠ODC＝∠OCD，可得∠OCD＝∠CBD，由∠ODC是公共角，可证明△CDO∽△BDC，根据相似三角形的性质即可得答案.

（1）连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，∠ADC＝∠ABC．

∵O是BD上一点，

∴OA＝OC．

∵OC＝OD，

∴AO＝OD，∠ODC＝∠OCD．

∴∠BOC＝∠ODC＋∠OCD＝2∠ODC．

同理：∠AOB＝2∠ADO，

∴∠AOC＝2(∠ADO＋∠ODC)＝2∠ADC．

又∵∠ADC＝∠ABC，

∴∠AOC＝2∠ABC．

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD．

∴∠BDC＝∠CBD．

由（1）得∠ODC＝∠OCD，

∴∠OCD＝∠CBD．

在△CDO和△BDC中

∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD

∴△CDO∽△BDC．

∴＝，

即CD2＝OD·BD．