Question

【题目】如图，已知直线与双曲线（）交于，两点，且点的横坐标为6.

（1）求的值；

（2）若双曲线（）上一点的纵坐标为9，求的面积；

（3）过原点的另一条直线交双曲线（）于，两点（点在第一象限），若由点，，，为顶点组成的四边形面积为96，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）18 ；（2）24；（3）或；

【解析】

（1）由条件可先求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；

（2）首先求得C点的坐标，过C作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，过A作x轴的垂线，垂足为F，然后求出S矩形CDOE＋S梯形CDFA，由反比例函数k的几何意义可求得S△COE和S△AOF，进而可求出S△AOC；

（3）设P点坐标为（m，），由反比例函数k的几何意义可得S△POM＝S△AOD，然后根据正比例函数与反比例函数的对称性可得OA=OB，OP=OQ，然后根据S△POA＝S梯形ADMP＝S四边形APBQ构建方程即可解决问题.

解：（1）由点A在直线上，且点A的横坐标为6，代入可求得A点纵坐标为3，

∴A点坐标为（6，3），

∵A点在双曲线上，

∴k＝6×3＝18；

（2）当点C的纵坐标为9时，代入可得x=2，即C点坐标为（2，9），

如图，过C作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，过A作x轴的垂线，垂足为F，

则OE＝CD＝9，OD＝2，OF＝6，AF＝3，

∴DF＝4，

∴S矩形CDOE＋S梯形CDFA＝，

又∵k＝18，

∴S△COE＝S△AOF＝×18＝9，

∴S△AOC＝S矩形CDOE＋S梯形CDFAS△COES△AOF＝4299＝24；

（3）设P点坐标为（m，），如图，作PM⊥x轴于M，

∵P、A在双曲线上，

∴S△POM＝S△AOD，

∴S△POA＝S梯形ADMP＝，

由正比例函数与反比例函数关于原点对称可知，OA=OB，OP=OQ，

∴S△POA＝S四边形APBQ，即，

解得m＝2或18（负值已舍去），

∴P（2，9）或（18，1）．