如图:在等腰梯形ABCD中.AB＝DC＝5.AD＝4.BC＝10．点E在下底边BC上.点F在腰AB上．①.则梯形的高是 ,②.若EF平分等腰梯形ABCD的周长.设BE长为.试用含的代数式表示△BEF的面积,③.是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在.求出此BE的长,若不存在.请说明理由,④.是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．

①、则梯形的高是；
②、若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为

，试用含

的代数式表示△BEF的面积；
③、是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此BE的长；若不存在，请说明理由；
④、是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1︰2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由．

①4；②

；③存在，7；④存在，

试题分析：①过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰梯形的性质可求得BH的长，然后根据勾股定理求解即可；
②根据题意画出BE的高FM，然后，推出梯形周长的一半（即12），即可知BF=12x，通过求证△FBM∽△ABH，即可推出高FM关于x的表达式，最后根据三角形的面积公式，即可表示出△BEF的面积；
③通过计算等腰梯形的面积，即可推出其一半的值，然后结合结论（2）即可推出结论；
④首先提出假设成立，然后，分情况进行讨论，①若当BE+BF=8，△BEF的面积=

，根据题意列出方程，求出x；②若当BE+BF=16，△BEF的面积=

时，根据题意列出方程，求出x，最后即可确定假设不成立，即可推出结论．
试题解析：①过点A作AH⊥BC于点H
∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴BH=（BCAD）÷2=3，
∴

，即梯形的高为4；
②过点F作FM⊥BC于点M

∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD的周长=24，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，
∴BF+BE=12，
∵BE=x，
∴BF=12x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴

，
∴

，
∴△BEF的面积

；
③假设线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分．
∵等腰梯形ABCD中，AH=4，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD面积的一半=4（4+10）÷2÷2=14，
∵当线段EF将等腰梯形ABCD的周长平分时，△BEF的面积关于x的函数表达式为

，
∴

，
∴整理方程得：

，
∵

，
解方程得：

，
∵当

时，

，
∴

，不符合题意，舍去，
∴当BE=7时，线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分；
④假设存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分．
∵等腰梯形ABCD的周长=24，等腰梯形ABCD的面积=28，
则①若当BE+BF=8，△BEF的面积=

，
∵BE=x，
∴BF=8x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴

，
∴

，
∴△BEF的面积

，
当

时，
∴

，
整理方程得：

，
∵

∴故方程无实数解，
∴此种情况不存在；
②若当BE+BF=16，△BEF的面积=

时，
∴

，
∴△BEF的面积

，
∴

，
整理方程得：

，

，
解方程得：

，

（舍去），
∴当

时，线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分．

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