Question

5．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点；
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG；
（2）根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=0B=OC=OD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH，
即：OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是矩形；

（2）解：∵G是OC的中点，
∴GO=GC，
∵DG⊥AC，
∴∠DGO=∠DGC=90°，
又∵DG=DG，
∴△DGC≌△DGO，
∴CD=OD，
∵F是BO中点，OF=2cm，
∴BO=4cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DO=BO=4cm，
∴DC=4cm，DB=8cm，
∴CB=$\sqrt{B{D}^{2}-D{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的面积=4×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$cm²．

点评 本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．