Question

11．如图1，正方形ABCD中，E、F分别在AD、DG上，EF的延长线交BC的延长线于G点，且∠AEB=∠BEG；
（1）求证：∠ABE=$\frac{1}{2}$∠BGE；
（2）如图2，若AB=5，AE=2，求S_△BEG；
（3）如图3，若E、F两点分别在AD、DC上运动，其它条件不变，试问：线段AE、EF、FC三者之间是否存在确定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在△BEG中利用三角形内角和定理，然后根据平行线的性质可得∠AEB=∠GBE，据此即可求证；
（2）作GH⊥BE于点H，则△BGE是等腰三角形，证明△ABE∽△BGH，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（3）作BQ⊥GE于点Q，连接BF，证明△ABE≌△QBE，直角△BQF≌直角△BCF根据全等三角形的对应边相等即可证得AE+FC=EF．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠GBE，
∴∠BGE=180°-∠BEG-∠GBE，即∠BGE=180°-2∠AEB．
∵∠ABE=90°-∠AEB，即2∠ABE=180°-2∠AEB，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠BGE；
（2）解：作GH⊥BE于点H．
在直角△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{29}$．
∵∠GBE=∠BEG，
∴△GBE是等腰三角形．
∴BH=EH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{29}}{2}$．
∵∠AEB=∠GBH，∠A=∠BHG=90°，
∴△ABE∽△BGH，
∴$\frac{AB}{GH}=\frac{AE}{BH}$，即$\frac{5}{GH}=\frac{2}{\frac{\sqrt{29}}{2}}$，
∴GH=$\frac{5\sqrt{29}}{4}$．
∴S_△BEG=$\frac{1}{2}$BE•GH=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{29}$×$\frac{5\sqrt{29}}{4}$=$\frac{145}{8}$；
（3）解：AE+FC=EF．
作BQ⊥GE于点Q．
在△ABE和△QBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BQE}\\{∠AEB=∠QEB}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△QBE，
∴AB=QB，AE=QE，而AB=BC，
∴BQ=BC．
连接BF．
在直角△BQF和直角△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BQ=BC}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴直角△BQF≌直角△BCF，
∴QF=FC，
∴AE+FC=EQ+QF=EF．

点评 本题考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△ABE≌△QBE，直角△BQF≌直角△BCF是关键．