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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10厘米，OC=6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒．
    （1）设点Q的运动速度为0.5厘米/秒，运动时间为t秒，
    ①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；
    ②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．
    （2）设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△OCP∽△PAQ∽CBQ？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）因为无法直接求△CPQ的面积，只好用梯形的面积减去两个三角形的面积，得到关于t的二次函数，求最小值就可以了，从而得到t的值，就可求出Q的坐标．利用三角形的相似，可以得到比例线段，求出t的值，就可以求出Q点的坐标．
    （2）利用三角形的相似，得到比例线段，解关于a、t的二元一次方程即可，那么Q点的坐标就可求．
    解答：解：（1）①先设两点运动的时间是t时，△CPQ面积最小．
    S△CPQ=S梯形QCOA-S△COP-S△APQ=
    1
    2
    （AQ+OC）×OA-
    1
    2
    AP•AQ-
    1
    2
    OC•OP
    =
    1
    2
    （0.5t+6）×10-
    1
    2
    ×0.5t×（10-t）-
    1
    2
    ×6×t
    =
    1
    4
    （t-6）2+21
    ∵a=
    1
    4
    ＞0，
    ∴当t=6时，S△CPQ有最小值，
    那么AQ=0.5t=0.5×6=3，
    ∴Q点的坐标是（10，3）．
    ②△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP两种情况：
    （i）当△COP∽△PAQ时：
    ∴
    AQ
    AP
    =
    OP
    OC
    ，
    ∴
    0.5t
    10-t
    =
    t
    6
    ，
    即t2-7t=0，
    解得，t1=0（不合题意，舍去），t2=7．
    ∴t=7，
    ∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5．
    ∴Q点的坐标是（10，3.5）．

    （ii）当△COP∽△QAP时：
    OP
    OC
    =
    AP
    AQ
    ，
    ∴
    t
    6
    =
    10-t
    0.5t
    ，
    即t2+12t-120=0
    解得：t1=-6+2
    		39
    ，t2=-6-2
    		39
    （不合题意，舍去）
    ∴AQ=0.5t=-3+
    		39
    ．
    ∴Q点的坐标是（10，-3+
    		39
    ）；

    （2）∵△COP∽△PAQ∽△CBQ，
    ∴
    OP
    OC
    =
    AQ
    AP
    OP
    OC
    =
    BQ
    BC
    ，
    即
    t
    6
    =
    at
    10-t
    t
    6
    =
    6-at
    10
    ，
    解得，t1=2，t2=18，
    又∵0＜t＜10，
    ∴t=2．代入任何一个式子，可求a=
    4
    3
    ．
    ∴AQ=at=
    8
    3

    ∴Q点的坐标是（10，
    8
    3
    ）．
    点评：本题利用了梯形、三角形的面积公式，相似三角形的性质，关键要会用含t的代数式表示线段的长，还用到了二次函数求最小值的知识（当a＞0时，二次函数有最小值），矩形的性质以及路程等于速度乘以时间等知识．
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    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    29
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    k
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    k
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    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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