Question

【题目】如图所示，电脑绣花设计师准备在长120cm，宽8cm的矩形ABCD模板区域内设计绣花方案，现将其划分为区域Ⅰ（2个全等的五边形），区域Ⅱ（2个全等的菱形），区域Ⅲ（正方形EFGH中减去与2个菱形重合的部分），剩余为不刺绣的空白部分：点O是整副图形的对称中心EG∥AB，H，F分别为2个菱形的中心，MH＝2PH，HQ＝2OQ，为了美观，要求MT不超过10cm．若设OQ＝x（cm），x为正整数．

（1）用含x的代数式表示区域Ⅲ的面积；

（2）当矩形ABCD内区域Ⅰ的面积最小时，图案给人的视觉感最好．求此时MN的长度；

（3）区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的刺绣方式各有不同．区域Ⅰ与区域Ⅲ所用的总针数之比为29：19，区域Ⅱ与区域Ⅲ每平方厘米所用的针数分别为a，b针（a，b均为整数，a＞b），区域Ⅲ的面积为正整数．这时整个模板的总针数为12960针，则a+b＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）x2（cm2）；（2）72cm；（3）5

【解析】

（1）由题意根据区域Ⅲ的面积＝正方形EFGH的面积﹣4×△JQH的面积进行分析求解；

（2）根据题意构建二次函数，求出自变量的取值范围即可解决问题；

（3）由（2）可知：7.5≤x＜10，由区域Ⅲ的面积＝x2是整数，可得x＝9，由区域Ⅰ与区域Ⅲ所用的总针数之比为29：19，可以假设区域Ⅰ与区域Ⅲ所用的总针数分别为29k，19k，由区域Ⅱ的面积＝32x2，区域Ⅲ的面积＝x2，设区域Ⅱ的总针数为y．则有＝，可得y＝48k，根据整个模板的总针数为12960针，构建方程求出k，即可解决问题．

解：（1）∵OQ＝x，

∴HQ＝2OQ＝2x，OH＝3x，HF＝6x，

∴菱形EFGH的面积为18x2（cm2），

设EH交MQ于J．

∵∠JHQ＝45°，tan∠JQH＝2，HQ＝2x

解得这个三角形的面积为：x2（cm2），

∴区域Ⅲ的面积为：18x2﹣4×x2＝x2（cm2）．

（2）令区域Ⅰ的面积为y，则y＝2×[40（60﹣3x）﹣4x2]＝﹣8x2﹣240x+4800，

∴该函数的对称轴为：直线x＝﹣15，

∵a＝﹣8＜0，

∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，

∵，

∴7.5≤x＜10，x为正整数，

∴x＝8，9，

∴当x＝9时，区域Ⅰ面积最小，此时MN＝8x＝72cm．

（3）由（2）可知：7.5≤x＜10，

∵区域Ⅲ的面积＝x2是整数，

∴x＝9，

∵区域Ⅰ与区域Ⅲ所用的总针数之比为29：19，

∴可以假设区域Ⅰ与区域Ⅲ所用的总针数分别为29k，19k，

∵区域Ⅱ的面积＝32x2，区域Ⅲ的面积＝x2，

设区域Ⅱ的总针数为y．则有＝，

∴y＝48k，

∵整个模板的总针数为12960针，

∴29k+48k+19k＝12960，

∴k＝135，

∴a+b＝＝5．

故答案为：5．