Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c经过原点（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交点为E，连接MD，已知E点的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积（用含m的代数式表示）；
（3）延长DM交⊙M于点N，连接ON，OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得四边形EOMD和△DON的面积相等，请求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）将O、A、B三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，从而确定抛物线的解析式；
（2）连接EM；由于ED、EO都是⊙M的切线，根据切线长定理可得到ED=EO，根据SSS可证得△EDM≌△EOM，则它们的面积相等，因此四边形EOMD的面积其实是△EOM的面积的2倍，以OM为底，OE为长可求出△EOM的面积，即可得到四边形EOMD的面积表达式；
（3）△DON中，MN=DM，所以△DMO和△OMN等底同高，它们的面积相等；由此可证得△EOM与△OMD的面积相等，由于这两个三角形共用底边OM，则ED∥x轴，根据⊙M的半径即得到直线PD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线过O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）三点，
∴

c=0 a+b+c=-3 a-b+c=5

，
解得

a=1 b=-4 c=0

；
∴抛物线的解析式为y=x²-4x；

（2）抛物线y=x²-4x与x轴的另一个交点坐标为C（4，0），连接EM；
∴⊙M的半径为2，即OM=DM=2；
∵ED、EO都是⊙M的切线，
∴EO=ED，△EOM≌△EDM；
∴S_{四边形EOMD}=2S_△OME=2×

1

2

OM•OE=2m；

（3）延长DM交⊙M于点N，连接ON，OD，EM，
设点D的坐标为（x₀，y₀），
∵S_△DON=2S_△DOM=2×

1

2

OM×y₀=2y₀，
当S_{四边形EOMD}=S_△DON时，即2m=2y₀，m=y₀；
∵m=y₀，ED∥x轴，
又∵ED为切线，
∴D点的坐标为（2，2）；
∵P在直线ED上，故设P点的坐标为（x，2），
∵P在抛物线上，
∴2=x²-4x，
解得x=2±

6

；
∴P（2+

6

，2）或P（2-

6

，2）为所求．

点评：此题是二次函数与圆的综合题，考查了二次函数解析式的确定、全等三角形的性质、切线长定理、函数图象交点及图形面积的求法等重要知识，能够发现△EOM、△OMD的面积关系，从而得到直线PD与x轴的位置关系是解答（3）题的关键．