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    如图，抛物线y=
    1
    2
    x2+mx+n过原点O，与x轴交于A，点D（4，2）在该抛物线上，过点D作CD∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点B，连接CO、AD．
    （1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
    （2）将△BCO绕点O按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△OEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
    （3）设过点E的直线交OA于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形AOCD的面积为1：3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
    （1）依题意，得
    n=0
    8+4m+n=2
    ，解得
    m=-
    3
    2
    n=0
    ，
    所以，抛物线解析式为y=
    1
    2
    x2-
    3
    2
    x，把y=2代入，得x1=4，x2=-1，
    所以，C（-1，2）；

    （2）点E落在抛物线上．理由如下：
    ∵BC=1，OB=2，∠OBC=90°，
    由旋转、轴对称的性质知：EF=1，OF=2，∠OFE=90°，
    ∴点E点的坐标为（2，-1），
    当x=2时，y=
    1
    2
    ×4-
    3
    2
    ×2=-1    ，∴点E落在抛物线上；

    （3）存在点P（a，0）．如图记S梯形CQPO=S1，S梯形ADQP=S2，
    S梯形AOCD=
    1
    2
    （AO+CD）×2=3+5=8，
    当PQ经过点F（2，0）时，易求S1=5，S2=3，此时S1：S2不符合条件，故a≠3．
    设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），将E（2，-1），P（a，0）代入，
    得
    2k+b=-1
    ak+b=0
    ，解得
    k=
    1
    a-2
    b=-
    a
    a-2
    ，
    ∴y=
    1
    a-2
    x-
    a
    a-2
    ，
    由y=2得x=3a-4，∴Q（3a-4，2）
    ∴CQ=（3a-4）-（-1）=3a-3，PO=a，
    S1=
    1
    2
    （3a-3+a）×2=4a-3，
    下面分两种情形：①当S1：S2=1：3时，S1=
    1
    4
    S梯形AOCD=
    1
    4
    ×8=2；
    ∴4a-3=2，解得a=
    5
    4
    ；
    ②当S1：S2=3：1时，S1=
    3
    4
    S梯形AOCD=
    3
    4
    ×8=6；
    ∴4a-3=6，解得a=
    9
    4
    ；
    综上所述：所求点P的坐标为（
    5
    4
    ，0）或（
    9
    4
    ，0）．
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交与A，B两点，与y轴交与点C，已知点A的坐标为（-2，0），sin∠ABC=
    2
    		5
    5
    ，点D是抛物线的顶点，直线DC交x轴于点E．
    （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
    （2）在直线CD上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）点P是直线y=2x-4上一点，过点P作直线PM垂直于直线CD，垂足为M，若∠MPO=75°，求出点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．
    （1）如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕y1所在直线的解析式；
    （2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E'．
    ①求折痕AD所在直线的解析式；
    ②再作E'F∥AB，交AD于点F．若抛物线y=-
    1
    12
    x2+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数．
    （3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点D'、G'，使纸片沿D'G'翻折后，点O落在BC边上，记为E''．请你猜想：折痕D'G'所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求△ABC的面积；
    （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y=-
    1
    4
    x2+x+3    与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴相交于点F．
    （1）求直线BC的解析式；
    （2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P
    ①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围；
    ②若r=
    4
    5
    		5
    ，是否存在点P使⊙P与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    提示：抛物线y=ax2+bx+x（a≠0）的顶点坐标（-
    b
    2a
    ，
    4ac-b2
    4a
    ），对称轴x=-
    b
    2a
    ．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C，点C的坐标为（0，-3），且BO=CO．
    （1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；
    （2）求出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．

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    AB=100m，设小正方形的边长为xm．
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

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    （1）用含x的代数式表示AB的长为______米；
    （2）若要围成的矩形面积为60米2，求AB的长；
    （3）当x为何值时，矩形的面积S最大？是多少？

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