Question

数学课上，李老师出示了一道题目：在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE

=

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形性质可得∠ECB=30°=∠D=∠DEB，从而DB=BE=AE；
（2）作EF∥BC，交AC于点F．则△AEF为等边三角形．根据“SAS”证明△BDE≌△FEC，得BD=EF=AE．

解答：解：（1）E为AB的中点时，AE与DB的大小关系是：AE=DB．
理由如下：
∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，
∴AE=BE；∠BCE=30°．
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D=30°．
又∵∠ABC=60°，
∴∠DEB=30°．
∴DB=BE=AE；

（2）AE=DB．
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°．
∴△AEF是等边三角形，AE=EF=AF．
∴BE=CF．
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D．
又∵∠ECF=60°-∠ECD，∠DEB=∠EBC-∠D=60°-∠D，
∴∠ECF=∠DEB．
在△BDE与△FEC中，
∵

BE=CF ∠ECF=∠DEB ED=EC

，
∴△BDE≌△FEC（SAS），
∴BD=EF=AE．

点评：此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，综合性较强，特别是分类讨论及辅助线的作法难度较大．