Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=$\frac{1}{2}$，求$\frac{AE}{AC}$的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC=OF即可；
（2）连接CE，先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以$\frac{AE}{AC}=\frac{CE}{CD}$，而tan∠D=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{2}$；
（3）由（2）可知，AC²=AE•AD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以$\frac{BF}{BC}=\frac{OF}{AC}$，然后利用勾股定理即可求得AB的长度．

解答 （1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AB是⊙O的切线；

（2）如图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠ECO+∠OCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECO=90°，
∴∠ACE=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{CE}{CD}$，
∵tan∠D=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$；

（3）由（2）可知：$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴设AE=x，AC=2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
∴AC²=AE•AD，
∴（2x）²=x（x+6），
解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），
∴AE=2，AC=4，
由（1）可知：AC=AF=4，
∠OFB=∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△OFB∽△ACB，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{OF}{AC}$，
设BF=a，
∴BC=$\frac{4a}{3}$，
∴BO=BC-OC=$\frac{4a}{3}$-3，
在Rt△BOF中，
BO²=OF²+BF²，
∴（$\frac{4a}{3}$-3）²=3²+a²，
∴解得：a=$\frac{72}{7}$或a=0（不合题意，舍去），
∴AB=AF+BF=$\frac{100}{7}$．

点评 本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACE∽△ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．