Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l，BE⊥l于E，AD⊥l于D．若BE=2，AD=6，求DE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：分类讨论

分析：分为两种情况，画出图形求出△ADC≌△CEB，推出CD=BE，AD=CE，即可得出答案．

解答：解：分为两种情况：
①如图1，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE（同角的余角相等），
在△ADC和△CEB中

∠DAC=∠BCE ∠ADC=∠BEC AC=BC

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，AD=CE．
∵DE=DC+CE，
∴DE=AD+BE=6+2=8；
②如图2，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCD=∠CAD（同角的余角相等）．
在△ADC和△CEB中

∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，BE=CD，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE=6-2=4，
即DE的长是8或4．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．