Question

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．
（1）求证：F为BC边的中点；
（2）判断四边形BDEF的形状，并说明你的理由；
（3）若∠A=35°，求弧$\widehat{DG}$的度数．

Answer 1

分析 （1）连接DF，如图1，根据直角三角形斜边上的中线性质得到BD=AD=CD，再利用圆周角定理得到∠DFC=90°，然后根据等腰三角形的性质可得BF=FC；
（2）与（1）一样可得E为AC中点，则利用三角形中位线性质得DE=$\frac{1}{2}$BC，DE∥BC，所以DE=CF，DE∥CF，于是可判断四边形BDEF是平行四边形；
（2）连接OG，如图2，先利用等腰三角形的性质由CD=AD得到∠DCA═∠A=35°，则利用三角形外角性质得∠ODG=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠DOG=40°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到$\widehat{DG}$的度数．

解答 （1）证明：连接DF，如图1，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴BD=AD=CD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∴BF=FC，
即F是BC的中点；
（2）解：四边形BDEF为平行四边形．理由如下：
与（1）一样可得E为AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，DE∥BC，
而BF=CF，
∴DE=CF，DE∥CF，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（3）解：连接OG，如图2，
∵CD=AD，
∴∠DCA═∠A=35°，
∴∠ODG=∠A+∠DCA=70°，
∵OD=OG，
∴∠OGD=∠ODG=70°，
∴∠DOG=180°-2×70°=40°，
即$\widehat{DG}$的度数为40°．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质和平行四边形的判定方法．充分利用三角形中位线的性质．