Question

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点，P异于A、D，Q是BC边上的一动点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）请你判断△APE与△PDF的关系，并说明理由；
（2）若Q是BC的中点，当P点运动到什么位置时，四边形PEQF为菱形？说明理由；
（3）四边形PEQF能否为矩形，为什么？

Answer 1

分析：（1）△APE∽△PDF，由于PE∥DQ，那么∠APE=∠PDF，同理有∠DPF=∠PAE，易证△APE∽△PDF；
（2）当P运动到AD中点时，四边形PEQF是菱形．先连接PQ，由于四边形PEQF是菱形，那么∠AQP=∠DQP，而Q是BC中点，AB=CD，∠B=∠C，易证△ABQ≌△DCQ，于是AQ=DQ，再利用等腰三角形三线合一定理可知AP=DP，即P是AD中点；
（3）不能是矩形．先假设能，由于四边形PEQF是矩形，那么∠EQF=90°，即∠AQB+∠DQC=90°，而∠AQB+∠QAB=90°，易得∠DQC=∠QAB，结合∠B=∠C=90°，易证△ABQ∽△QCD，再设BQ=x，则CQ=3-x，于是有2：x=（3-x）：2，
根据根的判别式可知此方程无实数解，说明假设错误，故不能是矩形．

解答：解：（1）△APE∽△PDF，
∵PE∥DQ，
∴∠APE=∠PDF，
∵PF∥AQ，
∴∠DPF=∠PAE，
∴△APE∽△PDF；

（2）当P运动到AD中点时，四边形PEQF是菱形，连接PQ，
∵四边形PEQF是菱形，
∴∠AQP=∠DQP，
∵Q是BC中点，
∴BQ=CQ，
又∵AB=CD，∠B=∠C，
∴△ABQ≌△DCQ，
∴AQ=DQ，
∵QE=QF，
∴AE=DF，
∵PE=PF，∠AEP=∠PFD，
∴△APD≌△DPF，
∴AP=DP，即P是AD中点；

（3）不能是矩形．
先假设能是矩形，
∵四边形PEQF是矩形，
∴∠EQF=90°，
∴∠AQB+∠DQC=90°，
又∵∠AQB+∠QAB=90°，
∴∠DQC=∠QAB，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABQ∽△QCD，
设BQ=x，则CQ=3-x，
∴

AB

BQ

=

QC

CD

，
即2：x=（3-x）：2，
∴x²-3x+4=0，
∵△=-7＜0，
∴此方程无实数解，
∴假设错误，
∴不能是矩形．

点评：本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理、解一元二次方程、菱形性质、矩形性质．解题的关键是连接PQ，并且可先假设是菱形、矩形，再进行证明．