Question

【题目】（1）问题发现，如图1，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，过点D作AE的垂线，垂足为F与AC、BC分别交于点G，点H，则= ．

（2）类比探究；如图2，在矩形ABCD中，，点E为CD的中点，过点D作AE的垂线，垂足为F，与AC、BC分别交于点G，点H，试探究的值，并写出推理过程．

Answer 1

【答案】(1)2；(2)，理由详见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据正方形性质证明△ADE≌△DCH，得CH=DE，设DE=x，根据AD∥CH得比例式得结论；

（2）设AD=3x，DC=4x，证明△ADE∽△DCH，表示出CH的长，利用AD∥BC列比例式代入求解．

试题解析：（1）如图1，设DE=x，则DC=2x，AD=2x，

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵DC=AD，∠ADC=∠DCH=90°，

∴△ADE≌△DCH，

∴CH=DE=x，

∵AD∥CH，

∴△ADG∽△CHG，

∴=2.

故答案为：2；

（2）如图2，设AD=3x，DC=4x，则DE=2x，

∵∠HDC+∠ADH=90°，∠ADH+∠DAE=90°，

∴∠HDC=∠DAE，

∵∠ADC=∠DCB=90°，

∴△ADE∽△DCH，

∴，

∴，

∴CH=，

∵AD∥BC，

∴△ADG∽△CHG，

∴==．