Question

17．如图，在平面直角坐标系中，点B为x轴正半轴上一点，点D为y轴正半轴上一点，CD∥OB，OB=14，CD=2，BC=13．若两动点E、F同时从O点出发，其中点E以每秒1个单位的速度沿折线O→D→C移动，点F以每秒2个单位的速度从点O向点B移动．
（1）写出C、D两点的坐标；
（2）设E、F的运动时间为t（秒），四边形CEFB的面积为S．求出S与t之间的函数关系式，并求出当t为多少时，S有最大值．
（3）是否存在某一时刻t，使得四边形CEFB的面积为梯形OBCD面积的$\frac{3}{8}$？若有，请求出此时的t值；若无，说明理由．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥x轴于点G，则四边形ODCG是矩形，在直角△BCG中，利用勾股定理求得CG的长，则C和D的坐标即可求得；
（2）当0＜t＜5时，E在OD上，F在OB上，根据S=S_梯形OBCD-S_△CDE-S_△OEF即可求解；5≤t≤7时，E在CD上，F在OB上，利用梯形面积公式即可求解；
（3）根据（2）的结果分两种情况，列方程即可求解．

解答 解：（1）作CE⊥x轴于点G，则四边形ODCG是矩形．
OG=CD，则BG=OB-OG=14-2=12M
在直角△BCE中，CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5．
则C的坐标是（2，5），D的坐标是（0，5）；

（2）当0＜t＜5时，E在OD上，F在OB上．
如图2．S_梯形OBCD=$\frac{1}{2}$（CD+OB）•OD=$\frac{1}{2}$（2+14）×5=40；
△CDE中，CD=2，DE=5-t．
则S_△CDE=$\frac{1}{2}$CD•DE=$\frac{1}{2}$×2×（5-t）=5-t；
△OEF中，OE=t，OF=2t，
则S_△OEF=$\frac{1}{2}$OE•OF=$\frac{1}{2}$×t•2t=t²．
则S=40-（5-t）-t2，
即S=-t²+t+35；

当5≤t≤7时，E在CD上，F在OB上，如图3．EC=7-t，BF=14-2t．
则S=$\frac{1}{2}$（EC+BF）•OD=$\frac{1}{2}$（7-t+14-2t）×5=$\frac{5}{2}$（21-3t）=-$\frac{15}{2}$t+$\frac{105}{2}$；

（3）当0＜t＜5时，-t²+t+35=$\frac{3}{8}$×40，
解得：t₁=5（舍去），t₂=-4．（舍去）；
当5≤t≤7时，-$\frac{15}{2}$t+$\frac{105}{2}$=$\frac{3}{8}$×40，
解得：t=5．
则当t=5时，四边形CEFB的面积为梯形OBCD面积的$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了梯形的计算以及勾股定理，梯形的问题长通过作高线转化为直角三角形的问题，注意到分情况讨论是关键．