Question

7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²-4ax-12a交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，直线y=-$\frac{1}{3}$x-6a经过B点，交y轴于点D．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点P在第一象限内的抛物线上，过点A、B作x轴的垂线，分别交直线PD于点E、F，若PF=DE，求点P的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点Q在第一象限内的抛物线上，过点Q作QE⊥DP于点E，交直线BD于点R，当QE=ER时，求点Q、R的坐标．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出a的值．
（2）先确定出OD，再判断出BT=3PT，进而得出∠POL=45°，OP=$\sqrt{2}$m，即可；
（3）由等角的余角相等判断出∠QDE=∠RDN，进而△QMD≌△DNR，再确定出直线解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+2即可．

解答 解：直线y=2kx-12k交x轴于点B，
∴B（6，0），
∵A（-2，0），B在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{36a+6b+4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
（2）如图2，

过点P作PL⊥x轴于L，过B做BT⊥OP，
∵抛物线解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵D是OC中点，
∴OD=2，
∴D（0，2），
tan∠ODB=$\frac{OB}{OD}$=3，
∴tan∠OPB=tan∠ODB=3，
∴BT=3PT，
∵P（m，m）在第一象限，
∴PL=OL=m，
∴∠POL=45°，OP=$\sqrt{2}$m，
∴BT=OT，
∵OB=6，
∴OT=BT=3PT=3$\sqrt{2}$，
∴OP=4$\sqrt{2}$，
∴m=4，
∴P（4，4）；此时点P在抛物线上，
（3）如图3，

连接PC，DQ，过点Q作QM⊥y轴，过R作RN⊥y轴，
∵P（4，4），C（0，4），
∴PC⊥y轴，
∴∠PCD=∠PLB=90°，
∵CD=BL=2，PC=PL=4，
∴△PCD≌△PLB，
∴∠CPD=∠LPB，PD=PB，
∴∠DPB=∠DPL+∠LPB=∠DPL+∠CPD=90°，
∴∠PDB=45°，
∵QR⊥PD，QE=ER，
∴DQ=DR，
∴∠QDE=∠PDB=45°，
∴∠QDR=90°，
∴∠QDM+∠RDN=90°，
∵∠QDM+∠DQM=90°，
∴∠QDE=∠RDN，
∵∠QMD=∠DNR=90°，
∴△QMD≌△DNR，
∴QM=DN，DM=NR，
∵D（0，2）在直线y=2kx-12k上，
∴-12k=2，
∴k=-$\frac{1}{6}$，
∴直线解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+2，
设R（n，-$\frac{1}{3}$n+2），
∴DM=NR=n，QM=DN=2-（-$\frac{1}{3}$n+2）=$\frac{1}{3}$n，
Q（$\frac{1}{3}$n，n+2），
∵点Q在抛物线上，
∴n+2=-$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3}$n）²+$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{3}$n+4，
∴n=3或n=-18（舍），
∴Q（1，5），R（3，1）

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数，解本题的关键是用三角函数判断出BT=3PT．