Question

一个长方体的长是3cm，宽也是3cm，高是6cm，如果把长方体的长增加xcm，且0＜x＜3，宽减少xcm，高不变．问：
（1）求原来长方体的体积．
（2）用含x的代数式表示变化后的长方体体积，且化简．  
（3）变化后的体积是变大还是变小了，为什么？

Answer 1

分析：（1）利用长方体的体积=长×宽×高，将原来长方体的长，宽及高代入，即可求出原长方体的体积V；
（2）根据长方体的长增加xcm，宽减少xcm，高不变，由原长方体的长，宽及高表示出变化后长方体的长，宽及高，代入体积公式，即可表示出变化后长方体的体积V′，提取-1后，利用平方差公式化简，去括号后即可得到结果；
（3）变化后的体积变小了，理由为：利用作差法，V-V′，将第一、二问得到的结果代入，去括号合并后得到其差为6x²，根据x的范围，得到其差大于0，可得出V＞V′，即变化后体积变小．

解答：解：（1）∵原长方体的长是3cm，宽也是3cm，高是6cm，
∴原长方体的体积V=3×3×6=54（cm³）；
（2）根据题意得：变化后长方体的长为（x+3）cm，宽为（3-x）cm，高为6cm，
∴变化后长方体的体积V′=6（x+3）（3-x）=-6（x+3）（x-3）=-6（x²-9）=-6x²+54（cm³）；
（3）变化后的体积变小了，理由为：
∵0＜x＜3，
∴V-V′=54-（-6x²+54）=54+6x²-54=6x²＞0，即V＞V′，
∴变化后的体积变小了．

点评：此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：多项式与多项式的乘法运算，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，本题第三问比较大小的方法为作差法，学生做题时注意此方法的运用．