Question

在正方形ABCD中，AB=12，E在边CD上，∠EBF=45°，EF=10．
（1）求△BEF的面积；
（2）求CE的长．

Answer 1

（1）解：
延长DC到Q，使CQ=AF，连接BQ，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠A=∠DCB=∠BCQ=∠ABC=90°，
在△ABF和△CBQ中
，
∴△ABF≌△CBQ，
∴BF=BQ，∠ABF=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，∠EBF=45°，
∴∠ABF+∠EBC=45°，
∴∠EBC+∠CBQ=45°=∠EBQ=∠EBF，
在△EBF和△EBQ中
，
∴△EBF≌△EBQ，
∴EF=EQ=10，
∴△BEF的面积等于△EBQ的面积，即EQ×BC=×10×12=60．
答：△BEF的面积是60．

（2）解：设CE=x，则DE=12-x，DF=12-AF=12-CQ=12-（10-x）=2+x，
在△DEF中，由勾股定理得：DE²+DF²=EF²，
即（12-x）²+（2+x）²=10²，
解得：x₁=4，x₂=18＞10（舍去），
∴CE=4．
分析：（1）延长DC到Q，使CQ=AF，连接BQ，根据正方形性质推出AB=BC，∠A=∠DCB=∠BCQ=∠ABC=90°，根据SAS证△ABF≌△CBQ，推出BF=BQ，∠ABF=∠CBQ，求出∠EBQ=∠EBF，根据△EBF≌△EBQ，推出EF=EQ=10，根据△BEF的面积等于△EBQ的面积，代入求出即可；
（2）设CE=x，则得出E=12-x，DF═2+x，在△DEF中根据勾股定理得出DE²+DF²=EF²，代入得出方程，求出方程的解即可．
点评：本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的运用，解（1）小题的关键是正确作辅助线，并证出△EBF≌△EBQ，解（2）小题的关键是在（1）的基础式得出一个关于x的方程，用的数学思想是方程思想和转化思想，题目比较好，具有一定的代表性．