Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=2

3

，∠ADC=60°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．
（1）求CE：AE的值；
（2）在CB的延长线上取一点P，使PB=2BC，试判断直线PA和⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的情况下，求线段PA、PB与

AB

所围成的图形的面积．

Answer 1

分析：（1）过点O作OF⊥AC于点F．由三角形内角和定理求得△ACB的内角∠CAB=15°，根据圆周角定理知∠COB=2∠CAB=30°、∠AOB=2∠ACB=90°；然再连接OC，由∠ABC和∠ACB的度数求出∠AOB，∠OAC，∠OCA和∠COE的度数，利用直角三角形以及等腰三角形得到AE与EC的关系；
（2）直线PA和⊙O相切于点A．根据对应线段的比相等判定AP与OB平行，再用两直线平行，同旁内角互补，得到∠OAP=90°，判定PA切⊙O于点A；
（3）线段PA、PB与

AB

所围成的图形的面积=直角梯形APBO的面积-扇形AOB的面积，所以由梯形的面积公式和扇形的面积公式求出其对应的面积作差即可．

解答：解：（1）连接OC，过点O作OF⊥AC于点F．则AF=CF（垂径定理）；
∵∠ACB=45°，∠AOB=2∠ACB，（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠AOB=90°；
又∵在△ABC中，∠ADC=60°，
∴∠ABC=120°
∵∠ACB=45°，
∴∠CAB=15°（三角形内角和定理），
∴∠COB=2∠CAB=30°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠AOC=120°；
∵OA=OC=2（⊙O的半径），
∴∠OAC=∠OCA=30°（等边对等角），
则在直角△AOE中，设OE=a，则AE=2a，CE=a，
∴

CE

AE

=

a

2a

=

1

2

；
（2）直线PA和⊙O相切于点A．理由如下：
由（1）知，

CE

AE

=

a

2a

=

1

2

；
∵PB=2BC，
∴

PC

PB

=

1

2

，
∴

EC

AE

=

BC

PB

=

1

2

，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEB∽△CAP，
∴∠CBE=∠P，
∴OB∥AP，
∴∠OAP+∠AOB=180°，
∴∠OAP=90°，
∵O为半径，
∴PA切⊙O于点A；
（3）过点B作BG⊥AP于G，则四边形AOBG是正方形，
∴AO=BG=

1

2

AD=

1

2

×2

3

=

3

，OB=AG=

1

2

AD=

3

，
设BC=x，则PB=2x，由（2）可知PA是圆的切线，
∴PA²=PB•BC=2x•3x，
∴PA=

6

x，
∴PG=AP-AG=

6

x-

3

，
在Rt△BGP中，PB²=PG²+BG²，即（2x）²=（

6

x-

3

）²+（

3

）²，
解得：x=

3 2 + 6

2

＞2

3

（此解舍去）或

3 2 - 6

2

，
∴AP=

6

x=

3 2 - 6

2

×

6

=3

3

-3，
∵线段PA、PB与

AB

所围成的图形的面积=直角梯形APBO的面积-扇形AOB的面积，
∴线段PA、PB与

AB

所围成的图形的面积=

(OB+AP)•OA

2

-

nπ•(OA)2

360

=

( 3 +3 3 -3)× 3

2

-

90×π×3

360

=

12-3 3

2

-

3

4

π．

点评：本题考查的是圆的综合题：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，；垂直于弦的直径平分弦；相似三角形的判定和性质以及正方形的判定和性质，根据题目的条件求出相应的角的度数和熟练运用勾股定理建立方程是解题的关键．