Question

我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称______，______．
（2）如下图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以△ABC边AB作如图正三角形ABD，∠CBE=60°，且BE=BC，连接DE、DC，∠DCB=30°．求证：DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

Answer 1

解：（1）填直角梯形，长方形；

（2）如图，


（3）证明：∵△ABD为等边三角形，
∴AB=AD，∠ABD=60°，
∵∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即∠ABC=∠DBE，
又∵BE=BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
连接EC，则△BCE为等边三角形，

∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC²+CE²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
分析：（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；
（2）利用勾股定理计算画出即可；
（3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
点评：此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．