Question

如图1，在x轴上，有两点A（m，0），B（n，0）（0＜m＜n），分别过点A，过点B作x轴的垂线，交抛物线y=-x²于点C，点D，直线OC交直线BD于点E，直线CD交y轴于点F，点E、F的纵坐标分别记为y_E、y_F．
（1）①当m=1，n=2时，

AC

BE

=

 

，y_E=

 

，y_F=

 

．
②当m=2，n=5时，y_E=

 

，y_F=

 

．
（2）根据问题（1）猜想y_E和y_F的关系，并证明你的结论．
（3）若把原题中《抛物线y=-x²》改为《抛物线y=ax²（a＜0》，其他条件不变，则y_E=

 

，y_F=

 

．
（4）连接EF、OD（图2），当四边形FODE为平行四边形时，直接写出

S△OCA

S△OCD

的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：已知A、B的坐标，根据抛物线的解析式，能得到C、D的坐标，进而能求出直线OC、CD的解析式，也就能得出E、F两点的坐标，再进行比较即可．由四边形FODE为平行四边形，得出OC=CE，OF=DEOA=AB=

1

2

OB，根据三角形面积公式求得S_△OCA=

1

4

S_△OBE，S_△OCD=

1

2

S_△ODE，从而求得结果．

解答：
解：（1）①当m=1，n=2时，A（1，0）、B（2，0）、C（1，-1）、D（2，-4）；
则：OA=1，OB=2，
直线OC：y=-x；
直线CD：y=-3x+2；
∴

AC

BE

=

OA

OB

=

1

2

，
F（0，2）、E（2，-2）；
即：-y_E=y_F=2．
②同理：当m=3，n=5时，-y_E=y_F=10．
故答案为：

1

2

，-2，2，-10，10；

（2）证明：点A（m，0），B（n，0）（0＜m＜n），AC⊥x轴，BD⊥x轴，
点C、D在抛物线y=-x²上，
当x=m时，y=-m²，当x=n时，y=-n²，
∴C（m，-m²）、D（n，-n²）；
设直线OC的解析式：y=kx，代入点C的坐标：
km=-m²，k=-m
即：直线OC：y=-mx；
同理：直线CD：y=-（m+n）x+mn．
∴E（n，-mn）、F（0，mn）
即y_E=-y_F．

（3）证明：点A（m，0），B（n，0）（0＜m＜n），AC⊥x轴，BD⊥x轴，
点C、D在抛物线y=ax²上，
当x=m时，y=am²，
当x=n时，y=an²，
∴C（m，am²）、D（n，an²）；
设直线OC的解析式：y=kx，代入点C的坐标：
km=am²，k=am
即：直线OC：y=amx；
同理：直线CD：y=-a（m+n）x+amn．
∴E（n，amn）、F（0，-amn）
即y_E=amn，y_F=-amn．
故答案为：amn，-amn．

（4）解：∵四边形FODE为平行四边形，
∴OC=CE，OF=DE；
∵AC∥BD，
∴OA=AB=

1

2

OB，AC=

1

2

BE，
∴S_△OCA=

1

4

S_△OBE，
∵OF=DE，OF=BE；
∴S_△OEB=S_△ODE；
∵S_△OCD=

1

2

S_△ODE；
∴

S△OCA

S△OCD

=

1

2

．

点评：本题主要考查的是函数解析式的确定、图形面积的解法、四边形的判定等知识，综合性较强，由浅入深的引导方式进一步降低了题目的难度，对于基础知识的掌握是解题的关键．