Question

如图，△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．
（1）写出图中一对相似三角形（不要求证明）；
（2）写出图中所有相等的线段，并加以证明．

Answer 1

分析：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，所以CD=2ED，则可证明DE=AD，再利用三角形的内角和定理可判断∠DAE=∠DEA=30°，∠EAB=∠EBA=15°，∠CBE=∠BCE=45°，则图中相似三角形和相等的线段都可求．

解答：（1）解：△ADE与△ACE；△ABC与△BDC．

（2）证明：AD=DE；BE=CE；AE=CE；AE=BE．
∵CE⊥BD，∠BDC=60°，
∴在Rt△CED中，∠ECD=30°，
∴DE=

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CD，即CD=2DE，
∵CD=2DA，∴DE=DA，
在△ADE中，∠EDA=180°-∠CDB=120°，
∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD，
∴AE=CE，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAB=∠EBA=15°，
∴AE=BE．
∴BE=CE．

点评：此题主要考查了三角形的内角和定理、直角三角形中30°角的特殊性质，及相似三角形的判定定理．