Question

【题目】如图在中，，点在上，以为半径的⊙交于，的垂直平分线交于，交于，连接．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）若，，且，求⊙的直径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的直径为

【解析】

（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；
（2）利用∠B=30°，BC=4，且AD：DF=1：2，求得AD的长，再根据△AOD是等边三角形，可得AO=AD=，进而得到⊙O的直径为．

解：(1)如图，连接OD，

∵OD=OA， ∴∠A=∠ODA，

∵EF是BD的垂直平分线， ∴EB=ED， ∴∠B=∠EDB，

∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，

∴∠ODE= 180°（∠ODA+∠EDB）=180°90°=90°，

∴OD⊥DE于E又∵OD是⊙O的半径

∴直线DE与⊙O相切；

（2）∵∠B=30°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60°

∵OD=OA ∴△OAD是等边三角形

在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=2x，

AC2+BC2=AB2，即解得x=4，∴AC=4，则AB=8

设AD =m,则DF=BF=2m，

∵AB=AD+2DF即m+4m=8，得m=

∴OA=AD=，2OA =

答：⊙O的直径为