Question

14．请观察下列算式，找出规律并填空
①$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，②$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），③$\frac{1}{1×4}$=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{4}$），④$\frac{1}{1×5}$=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{5}$），…
则第10个算式是$\frac{1}{1×11}$=$\frac{1}{10}$×（1-$\frac{1}{11}$），第n个算式为$\frac{1}{1×（n+1）}$=$\frac{1}{n}×$（1-$\frac{1}{n+1}$）．
从以上规律中你可得到一些启示吗？根据你得到的启示，试解答下题：若有理数a、b满足|a-1|+（b-3）²=0，求$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{（a+2）（b+2）}$+$\frac{1}{（a+4）（b+4）}$+…+$\frac{1}{（a+100）（b+100）}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意算式确定出第10个和第n个算式即可；
（2）将a、b的值代入原式，原式利用拆项法变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意，第10个算式为$\frac{1}{1×11}$=$\frac{1}{10}$×（1-$\frac{1}{11}$），
第n个等式为$\frac{1}{1×（n+1）}$=$\frac{1}{n}×$（1-$\frac{1}{n+1}$），
故答案为：$\frac{1}{1×11}$，$\frac{1}{10}$×（1-$\frac{1}{11}$），$\frac{1}{1×（n+1）}$，$\frac{1}{n}×$（1-$\frac{1}{n+1}$），

（2）根据题意知，a=1，b=3．
原式=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{101×103}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{101}$-$\frac{1}{103}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{101}$-$\frac{1}{103}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{103}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{102}{103}$
=$\frac{51}{103}$．

点评 此题考查了数字的变化规律和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．