Question

14．如图，二次函数y=ax²-2ax+3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是3．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l上有两点E，F（点E在点F上方），且EF=1，记四边形BCEF的周长为M，求M的最小值，并求M取得最小值时点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，当M取得的最小值时，连接AF，将直线AF绕点F顺时针旋转45°，求旋转后的直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）先确定出OC，进而求出B的坐标，最后利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先确定出点E，F的位置，再利用待定系数法求出直线BC₂的解析式，进而得出点F的坐标，即可求出BC₂，即可得出结论；
（3）设PQ=FQ=a，则AQ=$\frac{2}{3}\sqrt{13}$-a，利用三角形函数建立方程求出a的值，再利用勾股定理求出AP进而得出点P的坐标，最后用待定系数法即可．

解答 解：（1）二次函数y=ax²-2ax+3，
∴点C（0，3），
∴OC=3，
∵tan∠CBO=$\frac{CO}{OB}$=3，
∴OB=1，
∴B（-1，0），
∴a+2a+3=0，
∴a=-1，
∴二次函数解析式为y=-x²+2x+3；

（2）如图1，由（1）知，A（3，0），B（-1，0），C（0，3），
∵EF=1是定值，
∴将点C向下平移一个单位长度为点C₁（0，2），）再作点C₁关于直线l的对称点C₂（2，2），连接BC₂，交直线l于点F，
则设直线BC₂的解析式为y=kx+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，∴直线BC₂的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
∴点F（1，$\frac{4}{3}$），
∴BC₂=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵B（-1，0），C（0，3），
∴BC=$\sqrt{10}$，
∴M_最小=$\sqrt{10}$+$\sqrt{13}$+1；
（3）如图2，过点F作FH⊥x轴于H，
∴FH=$\frac{4}{3}$，AH=2，
由勾股定理得，AF=$\frac{2}{3}$$\sqrt{13}$，
设旋转后的直线AF与x轴交于点P，
作PQ⊥AF于点Q，
∴∠PFQ=45°，
∴∠FPQ=∠PFQ=45°，
∴FQ=PQ，
∵∠FHA=90°，
∴tan∠FAH=$\frac{HF}{AH}$=$\frac{2}{3}$，
设PQ=FQ=a，则AQ=$\frac{2}{3}\sqrt{13}$-a，
在Rt△APQ中，tan∠FAH=$\frac{PQ}{AQ}=\frac{a}{\frac{2}{3}\sqrt{13}-2}=\frac{2}{3}$，
∴a=$\frac{4}{15}\sqrt{13}$，
∴AQ=$\frac{2}{5}$$\sqrt{13}$，
由勾股定理得，AP=$\sqrt{A{Q}^{2}+P{Q}^{2}}$=$\frac{26}{15}$，
∴OP=OA-AP=$\frac{19}{15}$，
∴P（$\frac{19}{15}$，0），
设直线PF的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{19}{15}m+n=0}\\{m+n=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-5}\\{n=\frac{19}{3}}\end{array}\right.$
∴直线PF的解析式为y=-5x+$\frac{19}{3}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，极值的确定，解（1）的关键是得出点B的坐标，解（2）的关键是确定出点F的坐标，解（3）的关键是求出点P的坐标．