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    如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A——D——C以2cm/s的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为t(s)．

    (1)当t为何值时，线段EF与BC平行；

    (2)设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切；

    (3)当1≤t＜2，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP∶PC的值．

    答案：略
    解析：

    解：(1)设E、F出发后运动了ts时，有EF∥BC(如图①所示)，则有BE=t，CF=4－2t．即有t=4－2t，解得．∴当t为时，线段EF与BC平行．

    (2)设E、F出发后运动了ts时，EF与半圆相切(如图②所示)．过点F作KF∥BC交AB于K，

    则BE=t，CF=4－2t，EK=t－(4－2t)=3t－4，

    EF=EB＋FC=t＋(4－2t)=4－t．

    又∵，

    ∴．

    整理，得．解得．

    ∵1＜t＜2，∴，

    ∴当时，EF与半圆相切；

    (3)当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化．

    证明：设1≤t＜2时，E、F出发后运动了ts时，EF的位置如图③所示．

    则BE=t，AE=2－t，CF=4－2t．

    ∴．又∵AB∥DC，

    ∴△AEP∽△CFP．

    ，即点P的位置与t的取值无关．

    ∴当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化，且AP∶PC值为1∶2．


    提示：

    这是一道几何与代数，动点与不动点的综合创新题，难度较大，第(3)题实质上就是求AP=PC，若能求出定值，即不发生变化．


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    16
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