Question

8．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．
（1）求证：AF=CE；
（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是否为矩形？并给予证明．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质，结合全等三角形的判定与性质，进而得出答案；
（2）首先利用平行四边形的性质证明AE∥CF，AE=CF，可证明四边形AECF是平行四边形，再根据AC=BC，E是AB的中点，可根据等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合证明∠AEC=90°，即可证明平行四边形AECF是矩形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，∠B=∠D，AB=CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=DF=AE=CF，
在△BEC和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠B=∠D}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△DFA（SAS），
∴AF=CE；

（2）四边形AECF是矩形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=BC，E是AB的中点，∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，∴平行四边形AECF是矩形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质与判定，以及矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）．