Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，OC=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N．
（1）填空：D点坐标是（　　，　　），E点坐标是（　　，　　）；
（2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）（2，0），（2，2）。
（2）存在点M使△CMN为等腰三角形，M点的坐标为：（2，0），（2，4），（2，﹣4）。
（3）S随x增大而减小时，0≤x≤2或4≤x≤6。

试题分析：（1）根据△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D点的坐标，再根据DE=OD=2，求出E点的坐标：
∵将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，
∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，∴OA=OD。
∵OA=2，∴OD=2。∴D点坐标是（2，0），DE=OD=2。∴E点坐标是（2，2）。
（2）由翻折可知四边形AODE为正方形，过M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH=4，MN=，再根据直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE，设MN的解析式为y=x+b，根据DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，得出M（2，2+b），N（6，6+b），，CN=6+b，MN=。分CM=CN，CM=MN， CM=MN三种情况分别求出点M的坐标。
（3）根据题意先证出△PBN∽△DEP，得出BN的值，求出S与x之间的函数关系式，根据题意得：
当0≤x≤2时，
∵∠BPN+∠DPE=90°，∠BPN+∠EPD=90°，∴∠DPE=∠EPD。
∴△PBN∽△DEP，∴，即。∴。
∴。
当2＜x≤6时，
∵△PBN∽△DEP，∴，即。∴。
∴。
∴S与x之间的函数关系式：。
根据①当0≤x≤2时，S=x²﹣8x+12=（x﹣4）²﹣4，②当2＜x≤6时，S=﹣x²+8x﹣12=﹣（x﹣4）²+4，即可得出答案。
解：（1）（2，0），（2，2）。
（2）存在点M使△CMN为等腰三角形，理由如下：
由翻折可知四边形AODE为正方形，
过M作MH⊥BC于H，

∵∠PDM=∠PMD=45°，
∴∠NMH=∠MNH=45°。NH=MH=4，MN=。
∵直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE，
∴设MN的解析式为y=x+b，
而DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，∴M（2，2+b），N（6，6+b）。
∴。
分三种情况讨论：
①当CM=CN时，4²+（2+b）²=（6+b）²，解得：b=﹣2，
此时M（2，0）。
②当CM=MN时，4²+（2+b）²=（）²，解得：b₁=2，b₁=﹣6（不合题意舍去），
此时M（2，4）。
③当CM=MN时，6+b=，解得：b=﹣6，
此时M（2，﹣4）。
综上所述，存在点M使△CMN为等腰三角形，M点的坐标为：
（2，0），（2，4），（2，﹣4）。
（3）S与x之间的函数关系式为：。
①当0≤x≤2时，S=x²﹣8x+12=（x﹣4）²﹣4，
当x≤4时，S随x的增大而减小，即0≤x≤2；
②当2＜x≤6时，S=﹣x²+8x﹣12=﹣（x﹣4）²+4，
当x≥4时，S随x的增大而减小，即4≤x≤6。
综上所述：S随x增大而减小时，0≤x≤2或4≤x≤6。