Question

【题目】如图，G是正六边形ABCDEF的边CD的中点，连接AG交CE于点M，则GM：MA=______．

Answer 1

【答案】1：6．

【解析】

延长CE交AF的延长线于H，延长DE交AF延长线于L，根据正六边形的内角和定理可求出各内角的度数，利用平角的性质及等边三角形的性质可求出△FEL是等边三角形；再根据AAS定理求出△CDE≌△HLE，可得出AF=FL=HL，再利用AF∥CD可得△CGM∽△HAM，由三角形的相似比即可求解．

延长CE交AF的延长线于H，延长DE交AF延长线于L；
∵∠AFE=∠FED=∠CDE==120°，
∴∠LFE=∠FEL=180°-120°=60°，
∴AF=EF=FL=EL；
∵∠HLE是△EFL的外角，
∴∠HLE=∠LFE+∠FEL=120°，
∴∠HLE=∠CDE；
∵∠CED=∠FEH，DE=EL，
∴△CDE≌△HLE，
∴CD=HL，
∴AH=3AF=3CD；
∵G是CD的中点，即CG=CD，
∴CG：AH=：3=1：6．
∵AF∥CD，
∴△CGM∽△HAM，GM：AM=CG：AH=：3=1：6．

故答案为：1：6．