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    1．已知抛物线y=ax2-4a（a＞0）与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P是抛物线上一点，且PB=AB，∠PBA=120°，如图所示．
    （1）求抛物线的解析式．
    （2）设点M（m，n）为抛物线上的一个动点，且在曲线PA上移动．
    ①当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，是否存在点M使△APM的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
    ②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标．

    分析 （1）先求出A、B两点坐标，然后过点P作PC⊥x轴于点C，根据∠PBA=120°，PB=AB，分别求出BC和PC的长度即可得出点P的坐标，最后将点P的坐标代入二次函数解析式即；
    （2）①过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D，分别用含m的式子表示点D、M的坐标，然后代入△APM的面积公式$\frac{1}{2}$DM•AC，根据题意列出方程求出m的值；
    ②根据题意可知：n＜0，然后对m的值进行分类讨论，当-2≤m≤0时，|m|=-m；当0＜m≤2时，|m|=m，列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值．

    解答 解：（1）如图1，令y=0代入y=ax2-4a，
    ∴0=ax2-4a，
    ∵a＞0，
    ∴x2-4=0，
    ∴x=±2，
    ∴A（-2，0），B（2，0），
    ∴AB=4，
    过点P作PC⊥x轴于点C，
    ∴∠PBC=180°-∠PBA=60°，
    ∵PB=AB=4，
    ∴cos∠PBC=$\frac{BC}{PB}$，
    ∴BC=2，
    由勾股定理可求得：PC=2$\sqrt{3}$，
    ∵OC=OB+BC=4，
    ∴P（4，2$\sqrt{3}$），
    把P（4，2$\sqrt{3}$）代入y=ax2-4a，
    ∴2$\sqrt{3}$=16a-4a，
    ∴a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
    ∴抛物线解析式为；y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

    （2）∵点M在抛物线上，
    ∴n=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
    ∴M的坐标为（m，$\frac{\sqrt{3}}{6}$m2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
    ①当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，
    ∴2≤m≤4，
    如图2，过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D，
    设直线AP的解析式为y=kx+b，
    把A（-2，0）与P（4，2$\sqrt{3}$）代入y=kx+b，
    得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{2\sqrt{3}=4k+b}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$
    ∴直线AP的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
    令x=m代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
    ∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
    ∴D的坐标为（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
    ∴DM=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）-（$\frac{\sqrt{3}}{6}$m2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
    ∴S△APM=$\frac{1}{2}$DM•AE+$\frac{1}{2}$DM•CE
    =$\frac{1}{2}$DM（AE+CE）
    =$\frac{1}{2}$DM•AC
    =-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m2+$\sqrt{3}$m+4$\sqrt{3}$
    当S△APM=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$时，
    ∴$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m2+$\sqrt{3}$m+4$\sqrt{3}$，
    ∴解得m=3或m=-1，
    ∵2≤m≤4，
    ∴m=3，
    此时，M的坐标为（3，$\frac{5\sqrt{3}}{6}$）；

    ②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，
    ∴-2≤m≤2，n＜0，
    当-2≤m≤0时，
    ∴|m|+|n|=-m-n=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m2-m+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（m+$\sqrt{3}$）2+$\frac{7\sqrt{3}}{6}$，
    当m=-$\sqrt{3}$时，
    ∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为$\frac{7}{6}$$\sqrt{3}$，
    此时，M的坐标为（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
    当0＜m≤2时，
    ∴|m|+|n|=m-n=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m2+m+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（m-$\sqrt{3}$）2+$\frac{7\sqrt{3}}{6}$，
    当m=$\sqrt{3}$时，
    ∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为$\frac{7}{6}$$\sqrt{3}$，
    此时，M的坐标为（$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
    综上所述，当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，M的坐标为（$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）或（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）时，|m|+|n|的最大值为$\frac{7}{6}\sqrt{3}$．

    点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，三角形面积公式，二次函数最值等知识，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数的性质．

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