Question

【题目】如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A、D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，在△AOD中，OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，

又∵∠A＋∠CDB＝90°
∴∠ODA＋∠CDB＝90°，
∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD，

∴BD与⊙O相切．

（2）解：连接DE，∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE＝90°，
∴DE∥BC．

又∵D是AC的中点，
∴AE＝BE．
∴△AED∽△ABC．

∴AC∶AB＝AD∶AE．
∵AD：AE=4:5
∴AC∶AB＝4∶5，

令AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x．
∵BC＝6，
∴AB＝10，

∴AE＝5，
∴⊙O的直径为5．

【解析】 (1)连接OD,根据同圆的半径相等得出OA＝OD， 根据等边对等角得出∠A＝∠ODA，根据等量代换及平角的定义得出∠BDO=90°，从而得出BD与⊙O相切；
（2）（1）连接DE，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADE＝90°，根据同位角相等两直线平行得出DE∥BC．根据三角形中位线的判定知AE＝BE，从而判断出△AED∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出AC∶AB＝AD∶AE，从而找到AC,AB的关系，从而得出该圆的直径。