分析 (1)连接OC,根据OA=OC得出∠OAC=∠OCA,再利用∠FCA=∠AOE,再利用∠FCA=∠AOE和∠AEO=90°,得∠ACO=90°,即可证明FD是⊙O的切线;
(2)根据三角函数的定义即可得出∠A的度数,则∠COD=2∠A,阴影部分的面积=三角形COD的面积-扇形BOC的面积.
解答 (1)证明:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∵OE⊥AC,∠FCA=∠AOE,
∴∠A+∠AOE=∠ACO+∠FCA=90°,
∴∠FCO=90°,
∴FD是⊙O的切线;
(2)解:∵OE⊥AC,
∴AE=CE,
∵AC=4$\sqrt{3}$,
∴AE=2$\sqrt{3}$,
∵OE=2,
∴OA=4,
∴∠A=30°,
∴∠COB=60°,
∴∠D=30°,
∴CD=4$\sqrt{3}$,
∴S阴影=S△OCD-S扇形BOC
=$\frac{1}{2}$CO•CD-$\frac{60π•{4}^{2}}{360}$
=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π
=8$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π.
点评 本题考查了扇形面积的计算、切线的判定与性质,证明一条直线为圆的切线,连接切点和圆心,再证明垂直是解题的关键.
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A. | 4 | B. | 2 | C. | 1 | D. | $\sqrt{2}$ |
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