Question

【题目】如图1，是的垂直平分线上一点，是轴上一点且.

（1）若，，求点的坐标；

（2）在（1）的条件下，求证：；

（3）如图2，已知，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（0，2）；（2）见解析（3）10．

【解析】

（1）根据垂直平分线性质可得OA＝AB，根据∠AOB的大小可以求得∠OPB＝60°，根据30°角所对直角边为斜边一半即可求得P点坐标；

（2）在PB上取一点E，使OP＝OE，可证∠POA＝∠EOB，可证△POA≌△EOB，可得PA＝EB，即可解题；

（3）延长BA交y轴于点D，过A作AH⊥x轴，AE⊥y轴，可证BP＝PD，即可求得PO＋PB＝OP＋PD＝OD即可解题．

解：（1）∵∠OPB＝∠OAB，∠AOB＝60°，

∴∠OPB＝60°，

∴∠OBP＝30°，

∵PB＝4，

∴OP＝2，

∴P点坐标为（0，2）；

（2）在PB上取一点E，使OP＝OE，

∵∠OPE＝60°，

∴△POE是等边三角形，

∴∠POE＝60°，PE＝PO＝OE，

∵∠AOB＝60°，

∴∠POA＝∠EOB

在△POA和△EOB中，

，

∴△POA≌△EOB（SAS），

∴PA＝EB，

∴PB＝PE＋EB＝PO＋PA；

（3）延长BA交y轴于点D，过A作AH⊥x轴，AE⊥y轴；

∵OA＝AB，

∴∠AOB＝∠ABO，

∵∠ABO＋∠ODB＝∠AOB＋∠AOD＝90°，

∴∠AOD＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠ABP，

∴AD＝OA，BP＝PD，

∴E为OD中点，

∵OE＝AH＝5，

∴PO＋PB＝PO＋PD＝OD＝2OE＝10．