Question

如图，已知点C周围2180米范围内为原始森林保护区，在点A测得点C在北偏东45°方向上，从点A向东走6000米到达点B，在点B测得C在北偏西60°方向上．
（1）求点C到直线AB的距离（结果保留根号）；
（2）如果以AB为中轴线修一条宽为20米公路MN，那么公路MN会穿过原始森林保护区吗？说明理由．（）

Answer 1

【答案】分析：（1）首先过点C作CD⊥AB于D，由已知得：∠EAC=45°，∠FBC=60°，EA⊥AB，FB⊥AB，AB=6000米，设CD=x米，利用三角函数的知识即可求得AD与BD的长，则可得方程：x+x=6000，解此方程即可求得答案；
（2）由以AB为中轴线修一条宽为20米公路MN，即可求得点C到公路MN距离，与2180比较，即可求得答案．
解答：解：（1）过点C作CD⊥AB于D，
由已知得：∠EAC=45°，∠FBC=60°，EA⊥AB，FB⊥AB，AB=6000米，
∴∠CAD=90°-∠EAC=45°，∠CBD=90°-∠FBC=30°，
设CD=x米，
在Rt△ACD中，∠CAD=∠ACD=45°，
∴AD=CD=x米，
在Rt△BCD中，BD==x（米），
∴x+x=6000，
解得：x=3000-3000（米）；
∴点C到直线AB的距离为：3000-3000米；

（2）公路MN不会穿过原始森林保护区．
理由：∵CD=3000-3000=2196（米），
又∵以AB为中轴线修一条宽为20米公路MN，
∴点C到公路MN距离为：2196-10=2186（米），
∵2186＞2180，
∴公路MN不会穿过原始森林保护区．
点评：本题主要考查了方向角问题．此题难度适中，解题的关键是构造直角三角形，再解直角三角形，注意数形结合思想与方程思想的应用．