Question

在平面直角坐标系中，A（-3，0），B（0，0），若点C在一次函数y=-x+2的图象上，要使△ABC的周长最短，求C点的坐标．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：作B关于直线y=-x+2的对称点B′，连接AB′，交直线y=-x+2于C，C即为所求的点；根据直线的解析式求得直线与坐标轴的交点，即可求得B关于直线y=-x+2的对称点的坐标，根据待定系数法即可求得直线AB′的解析式，和直线y=-x+2的解析式联立方程即可求得C的坐标．

解答：解：如图，作B关于直线y=-x+2的对称点B′，连接AB′，交直线y=-x+2于C，此时△ABC的周长最短；
∵一次函数y=-x+2交x轴（2，0），交y轴（0，2），
∴B（0，0）关于直线y=-x+2的对称点为（2，2），
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∴

-3k+b=0 2k+b=2

，解得

k= 2 5 b= 6 5

，
∴直线AB′的解析式为y=

2

5

x+

6

5

，
∵

y= 2 5 x+ 6 5 y=-x+2

，解得

x= 4 7 y= 10 7

，
∴C点的坐标为（

4

7

，

10

7

）．

点评：本题考查了对称轴的性质，两点之间线段最短的性质，得到享受求解析式以及直线的交点的求法，作出对称点是本题的关键．