Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A（1，0）和B（0，3），其顶点为D．设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相似

（1）求抛物线的解析式

（2）求点P的坐标

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）（5，8）或（，-）．

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）设P（x，x2-4x+3）（x＞2），则H（2，x2-4x+3），分别表示出PH和HD，分时，时两种情况分别求出x即可.

解：（1）把A（1，0）和B（0，3）代入y=x2+bx+c得 ，解得，

∴抛物线解析式为y=x2-4x+3；

（2）抛物线的对称轴为直线x=2，

设P（x，x2-4x+3）（x＞2），则H（2，x2-4x+3），

∴PH=x-2，HD=x2-4x+3-（-1）=x2-4x+4，

∵∠PHD=∠AOB=90°，

∴当 时，△PHD∽△AOB，即 ，

解得x1=2（舍去），x2=5，此时P点坐标为（5，8）；

当 时，△PHD∽△BOA，即，

解得x1=2（舍去），x2= ，此时P点坐标为（，-）；

综上所述，满足条件的P点坐标为（5，8）或（，-）．