Question

如图，已知抛物线y=x²+4x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接CA，交抛物线的对称轴于点D．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标．
（2）点M是线段AC下方抛物线上一点，作MN∥y轴，交AC于点N，是否存在点M，使得CN=OM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点B作BF∥y轴，交AC于点F．点P是抛物线上一动点，点Q是直线DE上一动点．是否存在点P，使得A，F，P，Q四点构成一个平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题,存在型,分类讨论

分析：（1）根据二次函数对称轴公式列式计算即可得解，令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到点A的坐标；
（2）令x=0求出点C的坐标，从而得到直线AC的解析式，判断出AC与y轴的夹角度数，再根据CN=OM判断出四边形MNCO是等腰梯形或平行四边形，然后写出直线OM的解析式，再与二次函数解析式联立求解即可得到点M的坐标；
（3）写出点B的坐标，然后根据平行四边形的对边平行且相等，分①点P在对称轴左边时求出点P的横坐标，然后代入二次函数解析式计算即可求出点P的坐标，②点P在对称轴右边时，求出点P的横坐标，判断出点P与点C重合，③AF是对角线时，点P为二次函数的顶点坐标．

解答：解：（1）对称轴：直线x=-

4

2×1

=-2，
令y=0，则x²+4x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=-3，
所以，A（-3，0）；

（2）存在．
令x=0，则y=3，
所以，点C（0，3），
∴直线AC的解析式为y=x+3，
∴直线AC与y轴的夹角为45°，
∵CN=OM，
∴四边形MNCO是等腰梯形或平行四边形，
当四边形MNCO是等腰梯形时，直线OM的解析式为y=-x，
联立

y=x2+4x+3 y=-x

，
消掉y得，x²+5x+3=0，
解得x₁=

-5+ 13

2

，x₂=

-5- 13

2

（舍去），
y=-x=

5- 13

2

，
此时，点M（

-5+ 13

2

，

5- 13

2

），
当四边形MNCO是平行四边形时，直线OM的解析式为y=x，
联立

y=x2+4x+3 y=x

，
消掉y得，x²+3x+3=0，
△=3²-4×1×3=-3＜0，
方程无解，
综上所述，点M（

-5+ 13

2

，

5- 13

2

）；

（3）存在．
由（1）可得点B（-1，0），
①点P在对称轴左边时，点P的横坐标为-3-1=-4，
点P的纵坐标为y=（-4）²+4×（-4）+3=3
∴P₁（-4，3），
②点P在对称轴右边时，点P的横坐标为-1+1=0，
此时，点P与点C重合，A、F、P、Q四点共线，不能构成平行四边形，
③AF是对角线时，∵A（-3，0），B（-1，0），
∴点D是AF的中点，
∴点P在直线QD上，
即点P在对称轴上，
∴点P为二次函数的顶点坐标，
∵y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴二次函数顶点坐标为（-2，-1），
∴点P₂（-2，-1），
综上所述，P₁（-4，3），P₂（-2，-1）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴公式，二次函数与坐标轴的交点的求法，等腰梯形的两腰相等，平行四边形的对边平行且相等的性质，难点在于（3）要分情况讨论．