Question

根据三角形外心的概念，我们可引入下一个新定义：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10，AB=6，如果准外心P在AC边上，那么PA的长为

 

．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心

专题：新定义

分析：根据勾股定理求出AC的值，分三种情况进行讨论，若PB=PC，连结PB，设PA=x，得出PB=PC=8-x，再根据勾股定理求出PA的值；若PA=PC，得出PA=4；若PA=PB，由图知，不存在；从而得出PA的长．

解答：解：在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，BC=10，AB=6，
∴AC=

BC2-AB2

=

102-62

=8，
若PB=PC，连结PB，
设PA=x，则PB=PC=8-x，
在Rt△PAB中，
∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+6²，
∴x=

7

4

，即PA=

7

4

，
若PA=PC，则PA=4，
若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能，
故PA的长为：4或

7

4

．

点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．