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    （2007•莆田）在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OP⊥BE分别交AB，CD于P，Q．
    探究：（1）如图①，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；
    探究：（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论；
    再探究：（3）如图③，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．
    【答案】分析：（1）过Q作QQ'⊥AB于Q'，则∠MQ′Q=90°，证明四边形AMND为矩形，然后又证明四边形MNOQ′为矩形，最后可证明△BAE≌△QQ′P后可证得AE=MP+NQ．
    （2）画出图形可得若点E在DA的延长线上时，结论为AE=QN-MP
    （3）画出辅助线，可得若点E1在线段DH上时，结论为AE1=MP1+NQ1；当点E2在射线HG上时，推出AE2=MP2-NQ2．
    解答：解：（1）如图①结论：AE=MP+NQ．（2分）
    证明：过Q作QQ'⊥AB于Q'，
    则∠MQ′Q=90°，
    ∵MN⊥AB，
    ∴∠AMN=90°，
    ∵四边形ABCD为正方形，
    ∴∠BAD=∠ADC=90°，
    ∴四边形AMND为矩形，
    ∴MN=AD=AB，
    ∴∠Q′MN=∠QNM=90°，
    ∴四边形MNQQ′为矩形，
    ∴QQ′=MN=AB，NQ=Q′M，（3分）
    在△BAE和△QQ′P中，
    ∵PQ⊥BE，
    ∴∠Q′QP+∠Q′PQ=90°，
    ∵∠ABE+∠Q′PQ=90°，
    ∴∠Q′QP=∠ABE，（4分）
    ∵∠PQ′Q=∠BAE=90°，QQ′=AB，
    ∴△BAE≌△QQ′P．（5分）
    ∴Q′P=AE，
    ∵Q′P=MP+Q′M=MP+NQ，
    ∴AE=MP+NQ．（6分）

    （2）如图②，若点E在DA的延长线上时，结论AE=QN-MP．（8分）

    （3）如图，若点E1在线段DH上时，结论：AE1=MP1+NQ1．（10分）
    若点E2在射线HG上时，结论：AE2=MP2-NQ2．（12分）
    点评：本题考查全等三角形的判定定理以及正方形的性质的综合运用．
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    （1）写出点A，P，A′的坐标（用含m，n的式子表示）；
    （2）若直线BB'交y轴于E点，求证：线段B′E与AA′互相平分；
    （3）若点A′在抛物线上且Rt△ABC的面积为1时，请求出抛物线的解析式并判断在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△AA′D为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．

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