Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE=4 ，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接AD，OD．

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴D是BC的中点，

∵O是AB的中点，

∴OD∥AC，

∴∠ODF+∠DFA=180°，

∵DF⊥AC，

∴∠DFA=90°．

∴∠ODF=90°．

∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切线；

（2）

连接OE，

∵∠ADB=∠ADC=90°，∠DFC=∠DFA=90°，

∴∠DAC=∠CDF=22.5°，

∵AB=AC，D是BC中点，

∴∠BAC=2∠DAC=2×22.5°=45°，

∵OA=OE，

∴∠OEA=∠BAC=45°．

∴∠AOE=90°，

∵AE=4 ，

∴OA=OE=4．

S阴影=S扇形AOE﹣S△AOE=4π﹣8．

【解析】（1）连接AD、OD，则AD⊥BC，D为BC中点．OD为中位线，则OD∥AC，根据DF⊥AC可得OD⊥DF．得证；（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)，还要掌握扇形面积计算公式(在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）)的相关知识才是答题的关键．