Question

如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=60°，∠BEQ=45°；在点F处测得∠AFP=45°，∠BFQ=90°，EF=2km．
（1）判断AB、AE的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果保留根号）．

Answer 1

考点：解直角三角形的应用

专题：几何图形问题,数形结合,方程思想

分析：（1）根据SAS即可证明△AEF≌△ABF，得到AB=AE；
（2）作AH⊥PQ，垂足为H．设AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函数表示出HE与HF，从而可得到关于x的方程，解方程即可得解．

解答：解：（1）相等．
∵∠BEQ=45°，∠BFQ=90°，
∴∠EBF=∠BEQ=45°，
∴EF=BF，
又∵∠AFP=45°，
∴∠BFA=45°．
在△AEF与△ABF中，

EF=BF ∠AFE=∠AFB AF=AF

，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴AB=AE；

（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为H．
设AE=xkm，
则AH=xsin60°km，HE=xcos60°km，
∴HF=HE+EF=xcos60°+2，
Rt△AHF中，AH=HF•tan60°，
∴xsin60°=（xcos60°+2）•tan60°，
解得：x=12

3

km
即AB=AE=12

3

km．
答：两个岛屿A与B之间的距离约为12

3

km．

点评：此题考查了方向角问题．注意能运用了三角函数，把求线段的问题转化为方程求解的问题是解此题的关键，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．