Question

17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点E是BD上任意一点，点O是AC的中点，AF∥EC交EO的延长线于点 F，连接AE，CF．
（I）判断四边形AECF是什么四边形，并证明；
（2）若点E是BD的中点，四边形AECF又是什么四边形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由ASA证明△AOF≌△COE，得出OF=OE，即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得出AE=$\frac{1}{2}$BD，CE=$\frac{1}{2}$BD，得出AE=CE，即可得出结论．

解答 （1）解：四边形AECF是平行四边形；理由如下：
∵点O是AC的中点，∴OA=OC，
∵AF∥EC，
∴∠OCE=∠OAF，
在△AOF和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OCE}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOF=∠COE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）若点E是BD的中点，四边形AECF是菱形；理由如下：
∵∠DAB=90°，点E是BD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BD，
同理：CE=$\frac{1}{2}$BD，
∴AE=CE，
∴四边形AECF是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．