Question

如图，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接．桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米，桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离）900米，这里水面的海拔高度是74米．若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为0.5米，桥面离水面的高度为19米．请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长．（结果精确到0.1米）

Answer 1

分析：抛物线问题一般应放在直角坐标系里解决，建立适当的坐标系，可以使抛物线解析式简便，简化运算．常见方法有：以抛物线对称轴作为y轴（抛物线解析式缺少一次项），以抛物线顶点为坐标系的原点（抛物线解析式只有二次项），等等．选择了坐标系，按照某些点的相对位置，象限确定点的坐标，求抛物线解析式，从而用抛物线解析式解决实际问题．

解答：解：（方法一）如图，以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点坐标原点，以桥面（上竖直钢拉索与桥面连接点）所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
主塔塔顶距离桥面可由海拔高度计算：187.5-74-19=94.5m，BC纵坐标都是94.5
由于两塔之间距离为900m，B、C两点与A点距离相等，B横坐标为-450，C点横坐标为
450
则A（0，0.5），B（-450，94.5），C（450，94.5），
由题意，设抛物线为：y=ax²+0.5，
将C（450，94.5）代入求得：
a=

47

101250

或a=

94

4502

，
∴y=

47

101250

x2+0.5，
当x=350时，y=57.4．
∴离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长都约为57.4米．

（方法二）如图，以抛物线形主悬钢索最低点为原点，以平行于桥面的（竖直钢拉索与桥面连接点所在的）直线为x轴建立平面直角坐标系，
则B（-450，94），C（450，94），
设抛物线为：y=ax²，
将C（450，94）代入求得：
a=

47

101250

或a=

94

4502

，
∴y=

47

101250

x2，
距离主塔100米处点的横坐标是450-100=350，距离主塔50米处点的横坐标是
450-50=400
当x=350时，y=56.9，当x=400时，y=74.3，（6分）
∴56.9+0.5=57.4，74.3+0.5=74.8．
∴离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长约为57.4米．

点评：本题建立直角坐标系有多种方法，抛物线的解析式形式也有多种，但是它们的二次项系数相同．