Question

5．如图，在⊙O的内接四边形ACDB中，AB为直径，AC：BC=1：2，点D为弧AB的中点，BE⊥CD垂足为E．
（1）求∠BCE的度数；
（2）求证：D为CE的中点；
（3）连接OE交BC于点F，若AB=$\sqrt{10}$，求OE的长度．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由D为弧AB的中点，得到AD=BD，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）由已知条件得到∠CBE=45°，根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BD，根据相似三角形的性质得到DE：AC=BE：BC，即可得到结论．
（3）连接CO，根据线段垂直平分线的判定定理得到OE垂直平分BC，由三角形的中位线到现在得到OF=$\frac{1}{2}$AC，根据直角三角形的性质得到EF=$\frac{1}{2}$BC，由勾股定理即可得到结论．

解答 （1）解：连接AD，
∵D为弧AB的中点，
∴AD=BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠DCB=∠DAB=45°；

（2）证明：∵BE⊥CD，又∵∠ECB=45°，
∴∠CBE=45°，
∴CE=BE，
∵四边形ACDB是圆O的内接四边形，
∴∠A+∠BDC=180°，
又∵∠BDE+∠BDC=180°，
∴∠A=∠BD，
又∵∠ACB=∠BED=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴DE：AC=BE：BC，
∴DE：BE=AC：BC=1：2，
又∵CE=BE，
∴DE：CE=1：2，
∴D为CE的中点；

（3）解：连接EO，
∵CO=BO，CE=BE，
∴OE垂直平分BC，
∴F为BC中点，
又∵O为AB中点，
∴OF为△ABC的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠BEC=90°，EF为中线，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，
∵AC：BC=1：2，AB=$\sqrt{10}$，
∴AC=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，
∴OE=OF+EF=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理，三角形的中位线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．