Question

如图，ABCD是正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形，则∠EBC=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,菱形的性质

专题：

分析：过D作DG垂直于CF，垂足为G，由正方形的性质可得出正方形的四条边相等，且四个角为直角，三角形BCD为等腰直角三角形，可得出∠BDC与∠DBC都为45°，设正方形的边长为1，根据勾股定理求出BD的长为

2

，即菱形的四条边为

2

，由DG与FC垂直，且BD与EF平行，可得BD垂直于DG，进而得到∠CDG为45°，即三角形DCG为等腰直角三角形，由DC的长为1，可求出DG为

2

2

，在直角三角形DFG中，由DG为DF的一半，得到∠F为30°，再根据菱形的对角相等，可得∠DBE为30°，由∠EBC=∠DBC-∠DBE求出度数即可．

解答：解：过D作DG⊥CF，垂足为G，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBD=∠CDB=45°，∠BCD=90°，
设正方形ABCD的边长为1，即AB=BC=CD=AD=1，
∴根据勾股定理得：BD=

1+1

=

2

，
∵四边形BEFD为菱形，
∴BE=EF=DF=BD=

2

，
又∵BD∥EF，DG⊥FC，
∴BD⊥DG，即∠BDG=90°，
∴∠CDG=∠BDG-∠BDC=90°-45°=45°，又∠DGC=90°，
∴△DCG为等腰直角三角形，又DC=1，
∴DG=DCsin45°=

2

2

，又DF=

2

，
在Rt△DFG中，由DG=

1

2

DF，
∴∠F=30°，
∴∠DBE=30°，
则∠EBC=∠DBC-∠DBE=45°-30°=15°．
故答案是：15°．

点评：此题考查了正方形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线DG是本题的突破点，熟练掌握图形的性质是解本题的关键．