Question

（1）如图1，AB为⊙O的直径，直线l交⊙O于C、D，过A、B分别作l的垂线，垂足分别为E、F，经推证，可得出结论EC=DF，证明过程中辅助线的添法是______；
（2）上题中，若把l继续向上平行移动，使弦CD与直径AB交于P（P与A、B不重合），在其它条件不变的情况下，请你在图2中将变化后的图形画出来，标好对应字母，并写出与（1）相应成立的结论等式，并判断你写的结论是否成立，若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明，结论______；
（3）若（2）中⊙O半径为5cm，∠CPB=150°，且AP：BP=7：3，试求弦CD的长度．

Answer 1

解：

（1）过O作OG⊥EF于G，可得：CG=DG
∵AE⊥CD，OG⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OG∥BF
∵OA=OB，∴EG=FG
∴EG-CG=FG-DG
∴EC=DF

（2）EC=DF依然成立，证明过程同（1）
过O作OG⊥EF于G，可得：CG=DG
∵AE⊥CD，OG⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OG∥BF
∵OA=OB，∴EG=FG
∴EG-CG=FG-DG
∴EC=DF

（3）连接OD
∵⊙O的半径为5，AP：BP=7：3，∴AP=7，BP=3，OP=2
∵∠CPB=150°，∴∠OPG=30°
在Rt△OPG中，OG=sin30°×OP=1
在Rt△OGD中，DG===
故：CD=2DG=4．
分析：（1）作辅助线，过O作OG⊥EF于G，由垂径定理可得：CG=DG，又AE∥OG∥BF，OA=OB，
由平行线等分线段定理得：EG=FG．故：EG-CG=FG-DG，即：EC=DF；
（2）证明过程同（1），可得：EC=DF；
（3）作辅助线，连接OD，由∠CPA=150°，可得：∠OPG=30°，AB=10，AP：BP=7：3，可得AP=7，BP=3，OP=2．
OG=sin30°×OP=1．
在Rt△OGD中，运用勾股定理可将DG求出，由垂径定理可得：CD=2DG．
点评：本题主要考查垂径定理的应用，在解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．