Question

如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，将直线DB绕点O顺时针方向旋转，交DC、AB于点E、F．
（1）证明：△DEO≌△BFO；
（2）若DB=2，AD=1，AB=

5

．
①当DB绕点O顺时针方向旋转45°时，判断四边形AECF的形状，并说明理由；
②在直线DB绕点O顺时针方向旋转的过程中，是否存在矩形DEBF，若存在，请求出相应的旋转角度（结果精确到1°）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证三角形全等，必须找到三个条件证明其全等．
（2）首先要判断四边形是什么形状，然后根据题意首先证明△OAD是等腰直角三角形，然后证明OE=OF．

解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠CDO=∠ABO，∠DEO=∠BFO．
又∵点O是平行四边形的对称中心，
∴OD=OB．
∴△DEO≌△BFO．

（2）解：①四边形AECF是菱形．
理由如下：
在△ABD中，DB=2，AD=1，AB=

5

，
∴DB²+AD²=AB²．
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°
∵OD=OB=

1

2

DB=1，
∴AD=OD=1．
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴∠AOD=45°．
当直线DB绕点O顺时针旋转45°时，即∠DOE=45°，
∴∠AOE=90°
∵△DEO≌△BFO，
∴OE=OF
又∵点O是平行四边形的对称中心，
∴OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形
∴四边形AECF是菱形．
②当四边形DEBF是矩形时，
则有∠DFB=∠FDE=90°，OD=OE
又∵∠ADB=90°
∴有∠ADF=∠ODE=∠DEO
∵S_△ABD=

1

2

AD•BD=

1

2

AB•DF
∴DF=

AD•BD

AB

=

1×2

5

=

2 5

5

在Rt△ADF中，cos∠ADF=

DF

AD

=DF=

2 5

5

∴∠ADF≈26.6°
∴∠ODE=∠DEO=∠ADF=26.6°
∴∠DOE=180°-∠OED-∠ODE=180°-26.6°-26.6°=126.8°≈127°
即当直线DB绕点O约顺时针旋转127°时，四边形CDBE是矩形．

点评：本题是一道综合型试题，比较难，证明三角形全等必须要找出三个条件相等，按照判定四边形形状的定义证明该四边形为何形状．