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如图,在梯形ABCD中,AD//BCABDC,过点DDEBC,垂足为E,并延长DEF,使EFDE.连BFAC

1)求证:四边形ABFC是平行四边形;

2)如果DE2BE·CE,求证四边形ABFC是矩形.

 

【答案】

(1)证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)连接BD,利用等腰梯形的性质得到AC=BD,再根据垂直平分线的性质得到DB=FB,从而得到AC=BF,然后证得ACBF,利用一组对边平行且相等判定平行四边形;

2)利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似,得到对应角相等,从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形.

试题解析: 1)连接BD

∵梯形ABCD中,ADBCAB=CD

AC=BD

DEBCEF=DE

BD=BFCD=CF

AC=BFAB=CF

∴四边形ABCF是平行四边形;

2)∵DE2=BECE

∵∠DEB=DEC=90°,

∴△BDE∽△DEC

∴∠CDE=DBE

∴∠BFC=BDC=BDE+CDE=BDE+DBE=90°,

∴四边形ABFC是矩形.

考点: 1.等腰梯形的性质;2.全等三角形的判定与性质;3.平行四边形的判定与性质;4.相似三角形的判定与性质.

 

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